Calcolo frazionario

Il calcolo frazionario è una branca dell'analisi matematica che studia le diverse possibilità di definire una potenza reale o complessa dell'operatore derivata ${\displaystyle D}$

${\displaystyle Df(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)}$,

e dell'operatore integrale ${\displaystyle J}$

${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}\!\!\!\!f(s){ds}}$,^[1]

e sviluppare un calcolo infinitesimale per questi operatori, generalizzando quelli classici.

In questo contesto, il termine potenza si riferisce all'applicazione iterata di un operatore lineare a una funzione, in analogia alla composizione di funzioni nel caso a una variabile, cioè ${\displaystyle f^{\circ 2}(x)=f\circ f(x)=f(f(x))}$.

Per esempio, ci si potrebbe chiedere se interpretare

${\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}}$

come l'analogo della radice quadrata funzionale per un operatore differenziale, cioè un certo operatore lineare che quando applicato due volte a qualsiasi funzione ha lo stesso effetto della derivata. Più in generale, ci si potrebbe chiedere di definire un funzionale lineare

${\displaystyle D^{a}}$

per ogni numero reale ${\displaystyle a}$ in modo tale che, quando ${\displaystyle a}$ assume un valore intero ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, coincide con la usuale derivata ${\displaystyle n}$-esima ${\displaystyle D^{n}}$ se ${\displaystyle n>0}$ o con la ${\displaystyle n}$-esima potenza di ${\displaystyle J}$ se ${\displaystyle n<0}$.

Una delle motivazioni dietro l'introduzione e lo studio di questa estensione dell'operatore derivata ${\displaystyle D}$ è che gli insiemi delle potenze ${\displaystyle \{D^{a}\,|\,a\in \mathbb {R} \}}$ definite in questo modo sono semigruppi continui con parametro ${\displaystyle a}$, di cui l'originale semigruppo discreto di ${\displaystyle \{D^{n}\,|\,n\in \mathbb {Z} \}}$ è un sottogruppo numerabile: poiché i semigruppi continui hanno una teoria matematica ben sviluppata, è interessante applicarli ad altre branche della matematica.

Le equazioni differenziali frazionarie, anche conosciute come equazioni differenziali straordinarie, sono una generalizzazione delle equazioni differenziali attraverso l'applicazione del calcolo frazionario.